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数量关系

54.一块长方形土地的周长为a米，面积为6a平方米。如以长方形土地为基础扩充出一块最小的正方形土地，则其面积将增加50%。问a的值为：

100

120

150

180

正确答案：A

解析

本题考查: 数量关系中的几何问题正确答案: B 考点: 长方形和正方形的周长、面积公式，以及通过方程求解未知数。解题思路: 设长方形的长为 x 米，宽为 y 米，则周长 a = 2(x + y)，面积 6a = xy。以长方形土地为基础扩充出一块最小的正方形土地，此时正方形的边长为长方形的长 x 米。正方形面积为 x² ，由其面积增加 50%可得 x² = 1.5×6a = 9a 。因为 a = 2(x + y)，所以 x + y = 0.5a ，y = 0.5a - x 。将 y = 0.5a - x 代入 xy = 6a 可得 x(0.5a - x) = 6a ，即 x² - 0.5ax + 6a = 0 。根据判别式 Δ = b² - 4ac = 0.25a² - 24a = 0 ，解得 a = 120 。类似题技巧: 对于此类几何图形与方程结合的题目，要熟练掌握常见图形的周长和面积公式，善于设未知数，根据题目条件列出方程，求解时注意运用判别式等方法。同时，要注意边长、周长和面积之间的关系，避免出现计算错误。本题考查: 数量关系中的几何问题正确答案: B 考点: 长方形和正方形的周长、面积公式，以及通过方程求解未知数。解题思路: 设长方形的长为 x 米，宽为 y 米，则周长 a = 2(x + y)，面积 6a = xy。以长方形土地为基础扩充出一块最小的正方形土地，此时正方形的边长为长方形的长 x 米。正方形面积为 x² ，由其面积增加 50%可得 x² = 1.5×6a = 9a 。因为 a = 2(x + y)，所以 x + y = 0.5a ，y = 0.5a - x 。将 y = 0.5a - x 代入 xy = 6a 可得 x(0.5a - x) = 6a ，即 x² - 0.5ax + 6a = 0 。根据判别式 Δ = b² - 4ac = 0.25a² - 24a = 0 ，解得 a = 120 。类似题技巧: 对于此类几何图形与方程结合的题目，要熟练掌握常见图形的周长和面积公式，善于设未知数，根据题目条件列出方程，求解时注意运用判别式等方法。同时，要注意边长、周长和面积之间的关系，避免出现计算错误。